К сожалению, Вы не указываете, какова общая площадь квартиры и площадь комнат (составляют ли закрытые сыновьями комнаты ¼ размера жилой площади квартиры), сложился ли какой-то порядок пользования спорной квартирой, поэтому на ответить на вопрос, имеют ли право Ваши сыновья закрывать «свои» комнаты, однозначно невозможно.
В соответствии со статьёй 247 Гражданского кодекса Российской Федерации (далее – ГК РФ), владение и пользование имуществом, находящимся в долевой собственности, осуществляются по соглашению всех ее участников, а при не достижении согласия - в порядке, устанавливаемом судом. Участник долевой собственности имеет право на предоставление в его владение и пользование части общего имущества, соразмерной его доле, а при невозможности этого вправе требовать от других участников, владеющих и пользующихся имуществом, приходящимся на его долю, соответствующей компенсации.
Можно с полной уверенностью утверждать лишь, что, несмотря на запутанную историю имущественных отношений и взаимных обязательств в Вашей семье, собственниками квартиры являются только те из вас, кто имеет в установленном порядке оформленное свидетельство о праве собственности на долю в ней и только эти лица вправе принимать решение о распоряжении своими долями, или всей квартирой совместно.
То есть старший сын не вправе требовать раздела квартиры, а если перед ним имеет какие-то моральные обязательства младший брат, то только к нему старший и вправе предъявлять претензии, да и то не юридического, а морального порядка. Например, если квартира всё-таки будет продана, то часть ¼ часть денег от продажи должна быть вручена покупателем Вашему младшему сыну, а уж тот, если захочет, может сдержать слово и поделиться с братом.
Также совершенно не вправе братья требовать лишения своей сестры, Вашей дочери, принадлежащей ей 1/8 доли.
Старший сын имеет право пользования спорной квартирой как член семьи собственника. Однако, при определенных условиях (доказав прекращение семейных отношений - ведения общего хозяйства, отсутствие общего бюджета, общих предметов быта, неоказание взаимной поддержки друг другу и т.п., а также выезд в другое место жительства) Вы можете выселить его путём обращения с соответствующим иском в суд (части 4 статьи 31 ЖК РФ)
В соответствии со статьями 246, 250 ГК РФ распоряжение имуществом, находящимся в долевой собственности, осуществляется по соглашению всех ее участников. Участник долевой собственности вправе по своему усмотрению продать, подарить, завещать, отдать в залог свою долю либо распорядиться ею иным образом с соблюдением при ее возмездном отчуждении право преимущественной покупки, имеющееся у других сособственников.
Продавец доли обязан известить в письменной форме остальных участников долевой собственности о намерении продать свою долю постороннему лицу с указанием цены и других условий, на которых продает ее. Если остальные участники долевой собственности откажутся от покупки или не приобретут продаваемую долю в праве собственности на недвижимое имущество в течение месяца, а в праве собственности на движимое имущество в течение десяти дней со дня извещения, продавец вправе продать свою долю любому лицу.
Также Ваши сын или дочь могут требовать (в том числе заявив соответствующий иск) выдела принадлежащей им доли в натуре. В случаях, когда доля собственника незначительна, не может быть реально выделена и он не имеет существенного интереса в использовании общего имущества, суд может и при отсутствии согласия этого собственника обязать остальных участников долевой собственности выплатить ему компенсацию (абзац 2 пункт 4 статьи 252 ГК Российской Федерации).
Этот вопрос решается судом в каждом конкретном случае на основании исследования и оценки совокупности представленных сторонами доказательств, подтверждающих, в частности, нуждаемость в использовании этого имущества в силу возраста, состояния здоровья, профессиональной деятельности, наличия детей, других членов семьи, в том числе нетрудоспособных, и т.д. (пункт 36 Постановления Пленума Верховного Суда Российской Федерации №6 «О некоторых вопросах, связанных с применением части первой Гражданского кодекса Российской Федерации»).
Законом не предусматривается возможности заявления одним участником общей собственности требования о лишении другого участника права на долю с выплатой ему компенсации, даже если этот участник не имеет существенного интереса в использовании общего имущества и его доля незначительна.
Правом требовать (даже в суде) принудительной продажи всей квартиры и последующего раздела вырученных сумм, никто из сособственников не вправе.
Если Ваш внук несовершеннолетний, то Ваши сыновья не вправе препятствовать его проживанию в квартире, доля в праве на которую принадлежит его матери, а тем более самоуправно выселять его (Обзор законодательства и судебной практики Верховного Суда РФ за первый квартал 2010 года, утвержденный Постановлением Президиума Верховного Суда РФ от 16.06.2010).
Можно ли жить в чужой квартире? 
Приватизация для «своих» 
Из-за чего растет квартплата?